$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)$
设 $f,g$ 是 $\mathbb{R}$ 上的实函数, 且 $f(x)\not\equiv 0$, $f$ 有界. 而且 $f,g$ 满足
\[
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\quad\forall\ x,y\in\mathbb{R}.
\]
试证: $|g(y)|\leqslant 1$, $\forall\ y\in\mathbb{R}$.
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